Trigonometri: Perbandingan, Kuadran, Sudut, Rumus Trigonometri dan Contoh Soal-Pembahasan

Trigonometri merupakan suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi.
Dasar yang digunakan dalam trigonometri adalah bangun datar segitiga.
Dan arti dari kata trigonometri sendiri yang diambil dari bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa $\alpha$ :
gambar segitiga

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut $\alpha$
Sisi AC merupakan sisi samping sudut $\alpha$
Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.

       $\sin \alpha = \frac{a}{c}, \{ \frac{a}{c} = \frac{de-pan}{mi-ring} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.
       $\cos \alpha = \frac{b}{c}, \{ \frac{b}{c} = \frac{sa-mping}{mi-ring} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.
       $\tan \alpha = \frac{a}{b}, \{ \frac{a}{b} = \frac{de-pan}{sa-mping} \}$ , sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.
       $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}=\frac{1}{a/c}=\frac{c}{a}$ .
       $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}=\frac{1}{b/c}=\frac{c}{b}$ .
       $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac{1}{a/b}=\frac{b}{a}$ .

Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:
trigonometri sudut istimewa

Dalam Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Macam-macam Rumus Identitas Trigonometri

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Rumus pada Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut yaitu:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus pada Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut yaitu:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Rumus pada Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut yaitu:

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B
tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2. Rumus Untuk Sudut Rangkap

Dengan memanfaatkan Rumus sin (A + B) Untuk A = B maka akan menjadi:

           sin 2A = sin (A + B)
                       = sin A cos A + cos A sin A
                       = 2 sin A cos A
            Jadi, sin 2A = 2 sin A cos A

Dengan memanfaatkan Rumus cos (A + B) Untuk A = B maka akan menjadi:

           cos 2A = cos (A + A)
                       = cos A cos A – sin A sin
                       = cos 2A – sin 2A ……………………(1)
                            atau
           cos 2A = cos 2A – sin 2A
                       = cos 2A – (1 – cos 2A)
                       = cos 2A – 1 + cos 2A
                       = 2 cos 2A – 1…………………………(2)
                          atau
            cos 2A = cos 2A – sin 2A
                        = (1 – sin 2A) – sin 2A
                        = 1 – 2 sin 2A……………………….…(3)
          Dari Peramaan (1), (2), (3) di atas akan diperoleh rumus baru yakni:
                 cos 2A = cos 2A – sin 2A
                             = 2 cos 2A – 1
                             = 1 – 2 sin 2A

Dengan memanfaatkan Rumus tan (A + B) untuk A = B maka:

            tan 2A = tan (A + A)
                         = tan A + tan A/1 tan A x tan A
                         = 2 tan A/1 – tan 2A
           Sehingga, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

3. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

4. Rumus Perkalian Trigonometri Matematika

5. Rumus Jumlah dan Selisih

6. Rumus Setengah Sudut Trigonometri

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Apabila tan 5°= p. maka tentukanlah nilai dari:

tan 50°

     Penyelesaian:
             tan 50° = tan (45° + 5°)
                          = tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°
                          = 1 + p/1 – p
              Sehingga, hasil nilai dari tan 50° adalah = 1 + p/1 – p

2.Tentukanlah nilai dari sin 105° + sin 15°!
      Penyelesaian:
              Rumusnya : 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
                                                    = 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
                                                    = sin 60° cos 45°
              Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah sin 60° cos 45°

3. Tentukan lah nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
       Penyelesaian :
             Rumusnya : 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)
   2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
                                                              = cos 90° + cos 60°
                                                              = 0 + ½
                                                              = ½
              Maka nilai dari 2 cos 75° cos 15° yaitu ½

4. Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !
       Penyelesaian :
             $\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti
             $\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$
             $\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti
             $\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$
             $\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti
             $\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

       Jadi $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}$

5.    Diketahui sin A = 12/13 dan cos B = 3/5, <A dan <B lancip. Nilai tan (A – B) = ...
         Penyelesaian :
        Sin A = 12/13, maka cos A = 5/13
              Cos B = 3/5, maka sin B = 4/5

6.    Jika cos β = -1/2 √3 dan sudut β terletak pada kuadran II, maka tan β = ...
       Penyelesaian :
             Perhatikan segitiga siku-siku berikut ini:

Jika cos β = -1/2 √3 maka tan β = - 1/√3 (karena di kuadran II maka nilainya negatif)

7. Jika

, ½ π < x < π maka sin x + cos x = ...
Penyelesaian :

Misal tan x = p, maka:

    (2p – 1) (p + 2) = 0
    p = ½ atau p = -2 atau:
    tanx = ½ atau tan x = -2
    Karena ½ π < x < π atau 90 < x < 180 berada di kuadran II, ini berarti nilai tan harus negatif, maka nilai tanx yang memenuhi adalah -2.
tanx = -2, perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini:

sehingga sinx = 2/√5 dan cosx = - 1/√5 (ingat, di kuadran II cos negatif)

8. Dalam segitiga ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = 60. Panjang sisi A = ...
Penyelesaian :

= 64 + 25 – 80 . ½
   = 64 + 25 – 40
   = 89 – 40
           = 49
    a     = √49
   = ± 7
9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm, BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…
    Penyelesaian :
        Cos A = (AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
        Cos A = 6²+7²-8²/2(6 . 7)
        Cos A = 36+49-64/2(42)
        Cos A = 21/84

10. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

Penyelesaian :

cos 1200˚ = cos ( 120˚ +3.360˚ )

= cos 120˚

= – cos 60˚

= -1/2

11. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

      Penyelesaian :
                   a + b = 10
                         a = 10 - b
        Aturan Sinus
                  a/sin A = b/sin B
                 10-b/ sin 30 = b/sin 45
                       10-b/1/2 = b/√2/2
                   √2/2(10-b) = b/2
               (10√2-b√2)/2 = b/2

                    5√2-b√2/2 = b/2
                               5√2 = b√2/2 + b/2
                               5√2 = (b√2+b)/2
                               5√2 = b(√2+1)/2
                                   b = 5√2 x 2/(√2+1)
                                   b = 10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
                                   b = 20-10√2
                                   b = 10(2-√2)

12.Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x⁰ = sin 25⁰

      Penyelesaian :
           x = 25⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰ - 25⁰) + k.360⁰= 155⁰ + k.360⁰Jadi, x = 25⁰ + k.360⁰ atau 155°+ k.360⁰

13. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α
     Penyelesaian :
            sin⁴ α – sin² α = (sin²α)² – sin² α
                                    = (1 cos² α)²– (1 cos² α)
                                    = 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
                                    = cos⁴ α – cos² α

14. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
       dari sin p cos q = ....
      Penyelesaian :
            p – q = 30°
           sin (p – q) = sin 30°
           sin p cos q – cos p sin q = ½
           sin p cos q – 1/6 = ½
           sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
       jadi nilai sin p cos q = 4/6

Trigonometri

Others Blog

Wednesday, December 11, 2019

Perbandingan, Kuadran, Sudut, Rumus Trigonometri dan Contoh Soal-Pembahasan